Calcul infinitésimal Exemples

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Comme $\frac{c}{b - a}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ par rapport à $t$ est $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- a t} - e^{- b t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - a t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- a$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- a t$ par rapport à $t$ est $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- b t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - b t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- b$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- b t$ par rapport à $t$ est $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Multipliez.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2.2

Multipliez $e^{- b t}$ par $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Étape 5.4

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Étape 6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Étape 6.3

Multipliez $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ par $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Étape 6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Étape 6.7

Réécrivez $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ comme $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Étape 6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Étape 6.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$