Calcul infinitésimal Exemples

$y = arcsec (\frac{1}{9 t^{4}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = arcsec (t)$ et $g (t) = \frac{1}{9 t^{4}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 1.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9 t^{4}} \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 2

Associez $\frac{1}{9 t^{4}}$ et $\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}{9 t^{4}}$ .

$1 \frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 4

Multipliez $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ par $1$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{9 t^{4}}]$

Étape 5

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{9 t^{4}}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ .

$\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}])$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{9 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 t^{4}}{9 \sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

Étape 6.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $\frac{1}{t^{4}}$ comme ${(t^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

Étape 6.3.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 6.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} (- 4 t^{- 5})$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Associez $- 4$ et $\frac{t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}} t^{- 5}$

Étape 8.2

Associez $\frac{- 4 t^{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$ et $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 t^{4} t^{- 5}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Étape 9

Multipliez $t^{4}$ par $t^{- 5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez $t^{- 5}$ .

$\frac{- 4 (t^{- 5} t^{4})}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Étape 9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 t^{- 5 + 4}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Étape 9.3

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$\frac{- 4 t^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1}}$

Étape 10

Placez $t^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{\sqrt{{(\frac{1}{9 t^{4}})}^{2} - 1} t}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{9 t^{4}}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{{(9 t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Étape 12.2

Appliquez la règle de produit à $9 t^{4}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1^{2}}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Étape 12.3

Associez des termes.

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Étape 12.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{9^{2} {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Étape 12.3.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 {(t^{4})}^{2}} - 1} t}$

Étape 12.3.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{4})}^{2}$ .

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Étape 12.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{4 \cdot 2}} - 1} t}$

Étape 12.3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{4}{\sqrt{\frac{1}{81 t^{8}} - 1} t}$