Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{t^{2} + 2}{{(2 t - 5)}^{9}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 2$ et $g (t) = {(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{({(2 t - 5)}^{9})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 t - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 2.5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{9}$ et $g (t) = 2 t - 5$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 {(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 4.2

Factorisez ${(2 t - 5)}^{8}$ à partir de $2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez ${(2 t - 5)}^{8}$ à partir de $2 {(2 t - 5)}^{9} t$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 4.2.2

Factorisez ${(2 t - 5)}^{8}$ à partir de $- 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 4.2.3

Factorisez ${(2 t - 5)}^{8}$ à partir de ${(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez ${(2 t - 5)}^{8}$ à partir de ${(2 t - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t - 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.4.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4.1.4

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.4.2

Soustrayez $18 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$\frac{- 14 t^{2} - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.5

Factorisez $2$ à partir de $- 14 t^{2} - 10 t - 36$ .

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Étape 12.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 t$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.5.3

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 t$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - (5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2}) - (5 t)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.9

Réécrivez $- 18$ comme $- 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.11

Réécrivez $- (7 t^{2} + 5 t + 18)$ comme $- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18)$ .

$\frac{2 (- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Étape 12.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (7 t^{2} + 5 t + 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$