Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 t - 7}{t^{2} + 5 t - 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 3 t - 7$ et $g (t) = t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \frac{d}{d t} [3 t - 7] - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t - 7$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + 0) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \cdot 3 - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 5 t - 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.12

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + 0)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 2.13

Additionnez $2 t + 5$ et $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t + 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Développez $(- 3 t + 7) (2 t + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t + 5) + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.5.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.4

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.1.6

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.1.5.2

Additionnez $- 15 t$ et $14 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 12 - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $t$ de $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t - 12 + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Additionnez $- 12$ et $35$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $14 t$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - (- 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2}) - (- 14 t)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $23$ comme $- 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- (3 t^{2} - 14 t - 23)$ comme $- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 t^{2} - 14 t - 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$