Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{u^{2} + u}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{u^{2} + u}$ comme ${(u^{2} + u)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{- 1}$ et $g (u) = u^{2} + u$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $u^{2} + u$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u^{2} + u$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + u$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + \frac{d}{d u} [u])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(u^{2} + u)}^{- 2} (2 u + 1)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}} (2 u + 1)$ .

$- (2 u + 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 u) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 u - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u^{2} + u)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u)}^{2}}$

Étape 4.6.1.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}$

Étape 4.6.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{{(u (u + 1))}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de produit à $u (u + 1)$ .

$(- 2 u - 1) \frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 2 u - 1$ par $\frac{1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 u - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u$ .

$\frac{- (2 u) - 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u) - 1 (1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- (2 u + 1)$ comme $- 1 (2 u + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 u + 1}{u^{2} {(u + 1)}^{2}}$