Calcul infinitésimal Exemples

$h (u) = u^{3} {(9 u^{2} - 6)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ est $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ où $f (u) = u^{3}$ et $g (u) = {(9 u^{2} - 6)}^{4}$ .

$u^{3} \frac{d}{d u} [{(9 u^{2} - 6)}^{4}] + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{4}$ et $g (u) = 9 u^{2} - 6$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 u^{2} - 6$ .

$u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$u^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 u^{2} - 6$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 u^{2} - 6$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.2

Comme $9$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $9 u^{2}$ par rapport à $u$ est $9 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 \frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 (2 u) + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $u$ est $0$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + 0)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $18 u$ et $0$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 3.6.2

Multipliez $18$ par $4$ .

$u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3} u) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 4

Multipliez $u^{3}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $u$ .

$u \cdot u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 4.2

Multipliez $u$ par $u^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u^{1} u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u^{1 + 3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} (3 u^{2})$

Étape 6

Déplacez $3$ à gauche de ${(9 u^{2} - 6)}^{4}$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 \cdot {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Factorisez $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ à partir de $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ à partir de $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3})$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

Étape 7.1.2

Factorisez $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ à partir de $3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$

Étape 7.1.3

Factorisez $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ à partir de $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$3 \cdot u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

Étape 7.2.2

Déplacez $24$ à gauche de $u^{2}$ .

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (24 \cdot u^{2} + 9 u^{2} - 6)$

Étape 7.2.3

Additionnez $24 u^{2}$ et $9 u^{2}$ .

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (33 u^{2} - 6)$