Calcul infinitésimal Exemples

$e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $e^{4 x} + e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 2.1.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 2.1.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{4 x} - e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.1.2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 2.1.2.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 2.1.2.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

Étape 2.1.2.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

Étape 2.1.2.3.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

Étape 2.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 5