Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (3 t e^{- t})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 3 t e^{- t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 t e^{- t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 t e^{- t}$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [3 t e^{- t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t e^{- t}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$\frac{1}{3 t e^{- t}} (3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}])$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3 t e^{- t}}$ .

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3 t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t e^{- t}} \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Étape 5.5

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{t e^{- t}} (t (- e^{- t})) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $t$ et $\frac{1}{t e^{- t}}$ .

$\frac{t}{t e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{t}{t e^{- t}}$ et $e^{- t}$ .

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{t e^{- t}}{t e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{1}{t e^{- t}} e^{- t}$

Étape 6.2.6

Associez $\frac{1}{t e^{- t}}$ et $e^{- t}$ .

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Étape 6.2.7

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 6.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t e^{- t}}$

Étape 6.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{1}{t}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{t} - 1$