Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - u^{2})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{2}$ et $g (u) = 1 - u^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 - u^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - u^{2}$ .

$2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [1 - u^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- u^{2}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u$ est $0$ .

$2 (1 - u^{2}) (0 + \frac{d}{d u} [- u^{2}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d u} [- u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [- u^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- u^{2}$ par rapport à $u$ est $- \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$2 (1 - u^{2}) (- \frac{d}{d u} [u^{2}])$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (1 - u^{2}) \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (1 - u^{2}) (2 u)$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 (1 - u^{2}) u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 4 \cdot 1 - 4 (- u^{2})) u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \cdot 1 u - 4 (- u^{2}) u$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 u - 4 (- u^{2}) u$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- 4 u + 4 u^{2} u$

Étape 3.3.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- 4 u + 4 (u^{1} u^{2})$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 u + 4 u^{1 + 2}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 4 u + 4 u^{3}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 u^{3} - 4 u$