Calcul infinitésimal Exemples

$8 u^{\frac{3}{4}} + 4 u^{- \frac{1}{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 u^{\frac{3}{4}} + 4 u^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d u} [8 u^{\frac{3}{4}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $8 u^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $u$ est $8 \frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}]$ .

$8 \frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$8 (\frac{3}{4} u^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (\frac{3}{4} u^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.8

Associez $\frac{3}{4}$ et $u^{- \frac{1}{4}}$ .

$8 \frac{3 u^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.9

Associez $8$ et $\frac{3 u^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{8 (3 u^{- \frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24 u^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.11

Placez $u^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{24}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.12

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 6}{4 u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d u} [4 u^{- \frac{1}{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $4 u^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $4 \frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 \frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1})$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Étape 3.6.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{\frac{- 5}{4}})$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} u^{- \frac{5}{4}})$

Étape 3.8

Associez $u^{- \frac{5}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} - 4 \frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 3.10

Associez $- 4$ et $\frac{u^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4 u^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 3.11

Placez $u^{- \frac{5}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Étape 3.12

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (u^{\frac{5}{4}})}$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 u^{\frac{5}{4}}}$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 1}{u^{\frac{5}{4}}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{u^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}}$