Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{u}{u^{2} + 7}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u$ et $g (u) = u^{2} + 7$ .

$\frac{(u^{2} + 7) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 7) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $u^{2} + 7$ par $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 7]}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + 7$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [7]$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [7])}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u + \frac{d}{d u} [7])}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $7$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $7$ par rapport à $u$ est $0$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2 u$ et $0$ .

$\frac{u^{2} + 7 - u (2 u)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{u^{2} + 7 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 7

Soustrayez $2 u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (u^{2} - 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 8.4

Réécrivez $- (u^{2} - 7)$ comme $- 1 (u^{2} - 7)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 7)}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{u^{2} - 7}{{(u^{2} + 7)}^{2}}$