Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\frac{2 u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u^{2}}{{(u^{2} + u)}^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = u^{2}$ et $g (u) = {(u^{2} + u)}^{3}$ .

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(u^{2} + u)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} \frac{d}{d u} [u^{2}] - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(u^{2} + u)}^{3} (2 u) - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(u^{2} + u)}^{3}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} \frac{d}{d u} [{(u^{2} + u)}^{3}]}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = u^{3}$ et $g (u) = u^{2} + u$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $u^{2} + u$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $u^{2} + u$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - u^{2} (3 {(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} + u])}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u^{2} + u$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [u]))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$ .

$\frac{2 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u - 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 {(u^{2} + u)}^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{2 (2 ({(u^{2})}^{3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (2 (u^{2 \cdot 3} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 {(u^{2})}^{2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{2 \cdot 2} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{4} u + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $u^{4}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.3.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 (u \cdot u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $u$ par $u^{4}$ .

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Étape 6.2.2.3.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 (u^{1} u^{4}) + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{1 + 4} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2} u^{2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.4.1

Déplacez $u^{2}$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 (u^{2} u^{2}) + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{2 + 2} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.2.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (2 (u^{6} + 3 u^{5} + 3 u^{4} + u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((2 u^{6} + 2 (3 u^{5}) + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (3 u^{4}) + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 ((2 u^{6} + 6 u^{5} + 6 u^{4} + 2 u^{3}) u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 u^{6} u + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6

Simplifiez

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Étape 6.2.6.1

Multipliez $u^{6}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.6.1.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (2 (u \cdot u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.1.2

Multipliez $u$ par $u^{6}$ .

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Étape 6.2.6.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 (u^{1} u^{6}) + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 u^{1 + 6} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.1.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{5} u + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.2

Multipliez $u^{5}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.6.2.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 (u \cdot u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.2.2

Multipliez $u$ par $u^{5}$ .

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Étape 6.2.6.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 (u^{1} u^{5}) + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{1 + 5} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{4} u + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.3

Multipliez $u^{4}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.6.3.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u \cdot u^{4}) + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.3.2

Multipliez $u$ par $u^{4}$ .

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Étape 6.2.6.3.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 (u^{1} u^{4}) + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{1 + 4} + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{3} u) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.4

Multipliez $u^{3}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.6.4.1

Déplacez $u$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u \cdot u^{3})) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.4.2

Multipliez $u$ par $u^{3}$ .

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Étape 6.2.6.4.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 (u^{1} u^{3})) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{1 + 3}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.6.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{2 (2 u^{7} + 6 u^{6} + 6 u^{5} + 2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 u^{7}) + 2 (6 u^{6}) + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8

Simplifiez

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Étape 6.2.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 2 (6 u^{6}) + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 2 (6 u^{5}) + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 2 (2 u^{4}) + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.8.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ({(u^{2} + u)}^{2} (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.9

Réécrivez ${(u^{2} + u)}^{2}$ comme $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} + u) (u^{2} + u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.10

Développez $(u^{2} + u) (u^{2} + u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} (u^{2} + u) + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u (u^{2} + u)) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2} u^{2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.11.1.1

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.11.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{2 + 2} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.2

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.11.1.2.1

Multipliez $u^{2}$ par $u$ .

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Étape 6.2.11.1.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2} u^{1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{2 + 1} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u \cdot u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.3

Multipliez $u$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.11.1.3.1

Multipliez $u$ par $u^{2}$ .

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Étape 6.2.11.1.3.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1} u^{2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{1 + 2} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u \cdot u) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.1.4

Multipliez $u$ par $u$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + u^{3} + u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.11.2

Additionnez $u^{3}$ et $u^{3}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} ((u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.12

Développez $(u^{4} + 2 u^{3} + u^{2}) (2 u + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (u^{4} (2 u) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.13.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{4} u + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.2

Multipliez $u^{4}$ par $u$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.13.2.1

Déplacez $u$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 (u \cdot u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.2.2

Multipliez $u$ par $u^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.13.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 (u^{1} u^{4}) + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{1 + 4} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} \cdot 1 + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.3

Multipliez $u^{4}$ par $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 u^{3} (2 u) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{3} u + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.5

Multipliez $u^{3}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.13.5.1

Déplacez $u$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u \cdot u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.5.2

Multipliez $u$ par $u^{3}$ .

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Étape 6.2.13.5.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 (u^{1} u^{3}) + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{1 + 3} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 2 \cdot 2 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} \cdot 1 + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + u^{2} (2 u) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{2} u + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.9

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.13.9.1

Déplacez $u$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u \cdot u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.9.2

Multipliez $u$ par $u^{2}$ .

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Étape 6.2.13.9.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 (u^{1} u^{2}) + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{1 + 2} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2} \cdot 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.13.10

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + u^{4} + 4 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.14

Additionnez $u^{4}$ et $4 u^{4}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 2 u^{3} + 2 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.15

Additionnez $2 u^{3}$ et $2 u^{3}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5} + 5 u^{4} + 4 u^{3} + u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 u^{2} (2 u^{5}) - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.17.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 u^{2} (5 u^{4}) - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 u^{2} (4 u^{3}) - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2} u^{2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17.4

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.17.4.1

Déplacez $u^{2}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 (u^{2} u^{2}))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{2 + 2})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.17.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{2} u^{5} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.18.1

Multipliez $u^{2}$ par $u^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.18.1.1

Déplacez $u^{5}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 (u^{5} u^{2}) - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{5 + 2} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.1.3

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 3 \cdot 2 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{2} u^{4} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.3

Multipliez $u^{2}$ par $u^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.18.3.1

Déplacez $u^{4}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 (u^{4} u^{2}) - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{4 + 2} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.3.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 3 \cdot 5 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.4

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{2} u^{3} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.5

Multipliez $u^{2}$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.18.5.1

Déplacez $u^{3}$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 (u^{3} u^{2}) - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{3 + 2} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.5.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 3 \cdot 4 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.18.6

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7} - 15 u^{6} - 12 u^{5} - 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} + 2 (- 6 u^{7}) + 2 (- 15 u^{6}) + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.20

Simplifiez

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Étape 6.2.20.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} + 2 (- 15 u^{6}) + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.20.2

Multipliez $- 15$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} + 2 (- 12 u^{5}) + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.20.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} - 24 u^{5} + 2 (- 3 u^{4})}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.20.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{4 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 12 u^{7} - 30 u^{6} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.21

Soustrayez $12 u^{7}$ de $4 u^{7}$ .

$\frac{- 8 u^{7} + 12 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 30 u^{6} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.22

Soustrayez $30 u^{6}$ de $12 u^{6}$ .

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} + 12 u^{5} + 4 u^{4} - 24 u^{5} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.23

Soustrayez $24 u^{5}$ de $12 u^{5}$ .

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} + 4 u^{4} - 6 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.24

Soustrayez $6 u^{4}$ de $4 u^{4}$ .

$\frac{- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25

Réécrivez $- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 6.2.25.1

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $- 8 u^{7} - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}$ .

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Étape 6.2.25.1.1

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $- 8 u^{7}$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) - 18 u^{6} - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.2

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $- 18 u^{6}$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) - 12 u^{5} - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.3

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $- 12 u^{5}$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) - 2 u^{4}}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.4

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $- 2 u^{4}$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.5

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $2 u^{4} (- 4 u^{3}) + 2 u^{4} (- 9 u^{2})$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.6

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2}) + 2 u^{4} (- 6 u)$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 2 u^{4} (- 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.1.7

Factorisez $2 u^{4}$ à partir de $2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u) + 2 u^{4} (- 1)$ .

$\frac{2 u^{4} (- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.2

Factorisez $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.2.25.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 6.2.25.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Étape 6.2.25.2.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.2.25.2.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- 4 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 4 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.5

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$4 - 9 - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.6

Soustrayez $9$ de $4$ .

$- 5 - 6 \cdot - 1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$- 5 + 6 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.8

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$1 - 1$

Étape 6.2.25.2.3.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 6.2.25.2.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $u + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1}{u + 1}$

Étape 6.2.25.2.5

Divisez $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ par $u + 1$ .

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Étape 6.2.25.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$u$

$1$

$4 u^{3}$

$9 u^{2}$

$6 u$

$1$

Étape 6.2.25.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 u^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

				-	$4 u^{2}$
	$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$

Étape 6.2.25.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			-	$4 u^{3}$	-	$4 u^{2}$

Étape 6.2.25.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 u^{3} - 4 u^{2}$

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$

Étape 6.2.25.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$

Étape 6.2.25.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 u^{2}$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

Étape 6.2.25.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 u^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$

Étape 6.2.25.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					-	$5 u^{2}$	-	$5 u$

Étape 6.2.25.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 u^{2} - 5 u$

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$

Étape 6.2.25.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$

Étape 6.2.25.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

Étape 6.2.25.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- u$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $u$ .

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$

Étape 6.2.25.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							-	$u$	-	$1$

Étape 6.2.25.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- u - 1$

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$

Étape 6.2.25.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$4 u^{2}$	-	$5 u$	-	$1$
$u$	+	$1$	-	$4 u^{3}$	-	$9 u^{2}$	-	$6 u$	-	$1$
			+	$4 u^{3}$	+	$4 u^{2}$
					-	$5 u^{2}$	-	$6 u$
					+	$5 u^{2}$	+	$5 u$
							-	$u$	-	$1$
							+	$u$	+	$1$
										$0$

Étape 6.2.25.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 4 u^{2} - 5 u - 1$

Étape 6.2.25.2.6

Écrivez $- 4 u^{3} - 9 u^{2} - 6 u - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{2 u^{4} ((u + 1) (- 4 u^{2} - 5 u - 1))}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.3

Factorisez par regroupement.

$\frac{2 u^{4} (u + 1) (- 4 u - 1) (u + 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.4

Associez les exposants.

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Étape 6.2.25.4.1

Élevez $u + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 u^{4} ({(u + 1)}^{1} (u + 1)) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.4.2

Élevez $u + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 u^{4} ({(u + 1)}^{1} {(u + 1)}^{1}) (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{1 + 1} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.2.25.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u^{2} + u)}^{6}}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u)}^{6}}$

Étape 6.3.1.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u^{1})}^{6}}$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{6}}$

Étape 6.3.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{{(u (u + 1))}^{6}}$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de produit à $u (u + 1)$ .

$\frac{2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $u^{4}$ et $u^{6}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $u^{4}$ à partir de $2 u^{4} {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{6} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $u^{4}$ à partir de $u^{6} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{u^{4} (2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1))}{u^{4} (u^{2} {(u + 1)}^{6})}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à ${(u + 1)}^{2}$ et ${(u + 1)}^{6}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez ${(u + 1)}^{2}$ à partir de $2 {(u + 1)}^{2} (- 4 u - 1)$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{6}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez ${(u + 1)}^{2}$ à partir de $u^{2} {(u + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(u + 1)}^{2} (2 (- 4 u - 1))}{{(u + 1)}^{2} (u^{2} {(u + 1)}^{4})}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 4 u - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u$ .

$\frac{2 (- (4 u) - 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (4 u) - 1 (1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u) - 1 (1)$ .

$\frac{2 (- (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.9

Réécrivez $- (4 u + 1)$ comme $- 1 (4 u + 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (4 u + 1))}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$

Étape 6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (4 u + 1)}{u^{2} {(u + 1)}^{4}}$