Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{4}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$ par rapport à $w$ est $4 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d w} [\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{5}}$ comme ${({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d w} [{({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(w^{2} + 3)}^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 3)}^{5 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 \frac{d}{d w} [{(w^{2} + 3)}^{- 5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{- 5}$ et $g (w) = w^{2} + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w^{2} + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$4 (- 5 u^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w^{2} + 3$ .

$4 (- 5 {(w^{2} + 3)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$- 20 ({(w^{2} + 3)}^{- 6} \frac{d}{d w} [w^{2} + 3])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{2} + 3$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (\frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [3])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w + \frac{d}{d w} [3])$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $3$ par rapport à $w$ est $0$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w + 0)$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 w$ et $0$ .

$- 20 {(w^{2} + 3)}^{- 6} (2 w)$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 20$ .

$- 40 {(w^{2} + 3)}^{- 6} w$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 40 \frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 40$ et $\frac{1}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$ .

$\frac{- 40}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40}{{(w^{2} + 3)}^{6}} w$

Étape 4.2.3

Associez $w$ et $\frac{40}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$ .

$- \frac{w \cdot 40}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $40$ à gauche de $w$ .

$- \frac{40 w}{{(w^{2} + 3)}^{6}}$