Calcul infinitésimal Exemples

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ est $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ où $f (w) = 17 w^{2} + 11$ et $g (w) = e^{w^{2}}$ .

$(17 w^{2} + 11) \frac{d}{d w} [e^{w^{2}}] + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = e^{w}$ et $g (w) = w^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{u} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w^{2}$ .

$(17 w^{2} + 11) (e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [w^{2}]) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} \frac{d}{d w} [17 w^{2} + 11]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $17 w^{2} + 11$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (\frac{d}{d w} [17 w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Étape 3.3

Comme $17$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $17 w^{2}$ par rapport à $w$ est $17 \frac{d}{d w} [w^{2}]$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 \frac{d}{d w} [w^{2}] + \frac{d}{d w} [11])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (17 (2 w) + \frac{d}{d w} [11])$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $17$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + \frac{d}{d w} [11])$

Étape 3.6

Comme $11$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $11$ par rapport à $w$ est $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $34 w$ et $0$ .

$(17 w^{2} + 11) e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(17 w^{2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}}) (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$17 w^{2} e^{w^{2}} (2 w) + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $17$ .

$34 w^{2} e^{w^{2}} w + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3.2

Élevez $w$ à la puissance $1$ .

$34 (w^{1} w^{2}) e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$34 w^{1 + 2} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 11 e^{w^{2}} (2 w) + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $11$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 e^{w^{2}} w + e^{w^{2}} (34 w)$

Étape 4.3.6

Déplacez $e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 22 w e^{w^{2}} + 34 w e^{w^{2}}$

Étape 4.3.7

Additionnez $22 w e^{w^{2}}$ et $34 w e^{w^{2}}$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $34 e^{w^{2}} w^{3} + 56 e^{w^{2}} w$ .

$34 w^{3} e^{w^{2}} + 56 w e^{w^{2}}$