Calcul infinitésimal Exemples

$f (v) = 9 \sqrt{v (1 - e^{v})}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{v (1 - e^{v})}$ comme ${v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $9$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $9 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $v$ est $9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d v} [{v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ est $f' (g (v)) g' (v)$ où $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ et $g (v) = v (1 - e^{v})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v (1 - e^{v})$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 (\frac{1}{2} {v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (\frac{{v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 9

Placez ${v (1 - e^{v})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ et $9$ .

$\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$

Étape 11

Associez $\frac{9}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]$ .

$\frac{9 \frac{d}{d v} [v (1 - e^{v})]}{2 {v (1 - e^{v})}^{\frac{1}{2}}}$