Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ est $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ où $f (v) = 5 - v^{2}$ et $g (v) = 5 + v^{2}$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [5 - v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - v^{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $5$ par rapport à $v$ est $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) \frac{d}{d v} [- v^{2}] - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- v^{2}$ par rapport à $v$ est $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- (2 v)) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [5 + v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + v^{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $5$ par rapport à $v$ est $0$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - (5 - v^{2}) (2 v)}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(5 + v^{2}) (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 (5 - v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 2 \cdot 5 - 2 (- v^{2})) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10 v + v^{2} (- 2 v) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 10 v - 2 v^{2} v - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $v^{2}$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.3.1

Déplacez $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.3.2

Multipliez $v$ par $v^{2}$ .

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Étape 3.4.1.3.2.1

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 v - 2 v^{1 + 2} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 2 \cdot 5 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{2}) v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $v^{2}$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.5.1

Déplacez $v$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v \cdot v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.2

Multipliez $v$ par $v^{2}$ .

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Étape 3.4.1.5.2.1

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- (v^{1} v^{2}))}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{1 + 2})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v - 2 (- v^{3})}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les termes opposés dans $- 10 v - 2 v^{3} - 10 v + 2 v^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1

Additionnez $- 2 v^{3}$ et $2 v^{3}$ .

$\frac{- 10 v - 10 v + 0}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $- 10 v - 10 v$ et $0$ .

$\frac{- 10 v - 10 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $10 v$ de $- 10 v$ .

$\frac{- 20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 v}{{(5 + v^{2})}^{2}}$