Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{8}$ et $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

Étape 2

Réécrivez $\frac{1}{w^{3} - 1}$ comme ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{- 1}$ et $g (w) = w^{3} - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{3} - 1$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $w$ est $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $3 w^{2}$ et $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

Étape 4.5.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Étape 4.5.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Étape 5.3.2

Associez $- 24$ et $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

Étape 5.3.4

Associez $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ et $w^{2}$ .

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ par $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

Étape 5.3.6

Multipliez ${(w^{3} - 1)}^{2}$ par ${(w^{3} - 1)}^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $2$ et $7$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Étape 5.3.7

Déplacez $24$ à gauche de $w^{2}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

Étape 5.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

Étape 5.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = w$ et $b = 1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $w$ par $1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

Étape 5.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

Étape 5.4.4

Appliquez la règle de produit à $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$