Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\cos (w - 1))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \ln (w)$ et $g (w) = \cos (w - 1)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (w - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (w - 1)$ .

$\frac{1}{\cos (w - 1)} \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ à $\sec (w - 1)$ .

$\sec (w - 1) \frac{d}{d w} [\cos (w - 1)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \cos (w)$ et $g (w) = w - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d w} [w - 1])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $w - 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \frac{d}{d w} [w - 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w - 1$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + \frac{d}{d w} [- 1]))$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $w$ est $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) (1 + 0))$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1) \cdot 1)$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (w - 1) (- \sin (w - 1))$ .

$- \sec (w - 1) \sin (w - 1)$

Étape 5.2

Réécrivez $\sec (w - 1)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{1}{\cos (w - 1)} \sin (w - 1)$

Étape 5.3

Associez $\sin (w - 1)$ et $\frac{1}{\cos (w - 1)}$ .

$- \frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$

Étape 5.4

Convertissez de $\frac{\sin (w - 1)}{\cos (w - 1)}$ à $\tan (w - 1)$ .

$- \tan (w - 1)$