Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{w - 5}{w^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ est $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ où $f (w) = w - 5$ et $g (w) = w^{5}$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{{(w^{5})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(w^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{w^{5} \frac{d}{d w} [w - 5] - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w - 5$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 5]$ .

$\frac{w^{5} (\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 5]) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{w^{5} (1 + \frac{d}{d w} [- 5]) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $w$ est $0$ .

$\frac{w^{5} (1 + 0) - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{w^{5} \cdot 1 - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $w^{5}$ par $1$ .

$\frac{w^{5} - (w - 5) \frac{d}{d w} [w^{5}]}{w^{10}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{w^{5} - (w - 5) (5 w^{4})}{w^{10}}$

Étape 2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{w^{5} - 5 (w - 5) w^{4}}{w^{10}}$

Étape 2.7.2

Factorisez $w^{4}$ à partir de $w^{5} - 5 (w - 5) w^{4}$ .

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Étape 2.7.2.1

Factorisez $w^{4}$ à partir de $w^{5}$ .

$\frac{w^{4} w - 5 (w - 5) w^{4}}{w^{10}}$

Étape 2.7.2.2

Factorisez $w^{4}$ à partir de $- 5 (w - 5) w^{4}$ .

$\frac{w^{4} w + w^{4} (- 5 (w - 5))}{w^{10}}$

Étape 2.7.2.3

Factorisez $w^{4}$ à partir de $w^{4} w + w^{4} (- 5 (w - 5))$ .

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{10}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $w^{4}$ à partir de $w^{10}$ .

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{4} w^{6}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{w^{4} (w - 5 (w - 5))}{w^{4} w^{6}}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{w - 5 (w - 5)}{w^{6}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{w - 5 w - 5 \cdot - 5}{w^{6}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{w - 5 w + 25}{w^{6}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5 w$ de $w$ .

$\frac{- 4 w + 25}{w^{6}}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 w$ .

$\frac{- (4 w) + 25}{w^{6}}$

Étape 4.4

Réécrivez $25$ comme $- 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 w) - 1 (- 25)}{w^{6}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 w) - 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 w - 25)}{w^{6}}$

Étape 4.6

Réécrivez $- (4 w - 25)$ comme $- 1 (4 w - 25)$ .

$\frac{- 1 (4 w - 25)}{w^{6}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 w - 25}{w^{6}}$