Calcul infinitésimal Exemples

$w^{3} \ln (5 w)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d w} [f (w) g (w)]$ est $f (w) \frac{d}{d w} [g (w)] + g (w) \frac{d}{d w} [f (w)]$ où $f (w) = w^{3}$ et $g (w) = \ln (5 w)$ .

$w^{3} \frac{d}{d w} [\ln (5 w)] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \ln (w)$ et $g (w) = 5 w$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 w$ .

$w^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$w^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 w$ .

$w^{3} (\frac{1}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{5 w}$ et $w^{3}$ .

$\frac{w^{3}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $w^{3}$ et $w$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $w$ à partir de $w^{3}$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{5 w} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $w$ à partir de $5 w$ .

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [5 w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $5 w$ par rapport à $w$ est $5 \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w^{2}}{5} (5 \frac{d}{d w} [w]) + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $5$ et $\frac{w^{2}}{5}$ .

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 w^{2}}{5} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.4.2.2

Divisez $w^{2}$ par $1$ .

$w^{2} \frac{d}{d w} [w] + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$w^{2} \cdot 1 + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.6

Multipliez $w^{2}$ par $1$ .

$w^{2} + \ln (5 w) \frac{d}{d w} [w^{3}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$w^{2} + \ln (5 w) (3 w^{2})$

Étape 3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$w^{2} + 3 w^{2} \ln (5 w)$