Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (t + 1) - 0.5 t$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (t + 1) - 0.5 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{t + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{t + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $1$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{d}{d t} [- 0.5 t]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 0.5 t]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 0.5 t$ par rapport à $t$ est $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 0.5$ par $1$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $- 0.5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} - 0.5 \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Étape 4.2

Associez $- 0.5$ et $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{1}{t + 1} + \frac{- 0.5 (t + 1)}{t + 1}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 0.5 (t + 1)}{t + 1}$