Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = 5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t^{5}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{5}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 2.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t^{3}}$ comme $t^{\frac{3}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{\frac{1}{2}}$ .

$25 t^{4} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$