Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2} (3 t^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Étape 1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2} t^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{2}$ et $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t^{2} - 1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]))$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{2} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + \frac{d}{d t} [- 1])))$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t + 0)))$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Additionnez $4 t$ et $0$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (2 (2 t^{2} - 1) (4 t)))$

Étape 5.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{2} (8 (2 t^{2} - 1) t))$

Étape 6

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Déplacez $t$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t \cdot t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Étape 6.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1} t^{2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{1 + 2} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2} - 1)))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2}) + 8 \cdot - 1))$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + t^{3} (8 (2 t^{2})) + t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 ({(2 t^{2} - 1)}^{2} t) + 3 (t^{3} (8 (2 t^{2}))) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{3} (16 t^{2})) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.3

Multipliez $t^{3}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1

Déplacez $t^{2}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.3.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 16) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.4

Déplacez $16$ à gauche de $t^{5}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 3 (16 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} (8 \cdot - 1))$

Étape 7.4.6

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 8)$

Étape 7.4.7

Déplacez $- 8$ à gauche de $t^{3}$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} + 3 (- 8 \cdot t^{3})$

Étape 7.4.8

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$6 {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 48 t^{5} - 24 t^{3}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t {(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Étape 7.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Réécrivez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ comme $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t ((2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1))$

Étape 7.6.2

Développez $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1))$

Étape 7.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1))$

Étape 7.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.3.1.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 7.6.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1)$

Étape 7.6.3.2

Soustrayez $2 t^{2}$ de $- 2 t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4} - 4 t^{2} + 1)$

Étape 7.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t (4 t^{4}) + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Étape 7.6.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 t (- 4 t^{2}) + 6 t \cdot 1$

Étape 7.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 1$

Étape 7.6.5.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.6.1

Multipliez $t$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.6.1.1

Déplacez $t^{4}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6.1.2

Multipliez $t^{4}$ par $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.6.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 6 \cdot 4 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t \cdot t^{2} + 6 t$

Étape 7.6.6.3

Multipliez $t$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.6.3.1

Déplacez $t^{2}$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t) + 6 t$

Étape 7.6.6.3.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.6.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 (t^{2} t^{1}) + 6 t$

Étape 7.6.6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{2 + 1} + 6 t$

Étape 7.6.6.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} + 6 \cdot - 4 t^{3} + 6 t$

Étape 7.6.6.4

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$48 t^{5} - 24 t^{3} + 24 t^{5} - 24 t^{3} + 6 t$

Étape 7.7

Additionnez $48 t^{5}$ et $24 t^{5}$ .

$72 t^{5} - 24 t^{3} - 24 t^{3} + 6 t$

Étape 7.8

Soustrayez $24 t^{3}$ de $- 24 t^{3}$ .

$72 t^{5} - 48 t^{3} + 6 t$