Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{1 - 2 t}{t + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 1 - 2 t$ et $g (t) = t + 3$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [- 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t + 3) (- 2 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t + 3) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(t + 3) \cdot - 2 - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $t + 3$ .

$\frac{- 2 \cdot (t + 3) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 t - 6 - 1 + 2 t}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 2 t - 6 - 1 + 2 t$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 2 t$ et $2 t$ .

$\frac{0 - 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$\frac{- 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\frac{- 7}{{(t + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{{(t + 3)}^{2}}$