Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (4 t)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 t$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t$ .

$\frac{1}{1 + {(4 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 t$ .

$\frac{1}{1 + {(4 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 (t)$ .

$\frac{1}{1 + 4^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 2.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 t^{2}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{1 + 16 t^{2}} (4 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.4

Associez $4$ et $\frac{1}{1 + 16 t^{2}}$ .

$\frac{4}{1 + 16 t^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 t^{2}} \cdot 1$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{4}{1 + 16 t^{2}}$ par $1$ .

$\frac{4}{1 + 16 t^{2}}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{16 t^{2} + 1}$