Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (\sqrt{8 t + 11})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 t + 11}$ comme ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\cos ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 8 t + 11$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 8.3

Placez ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t + 11$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 10

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 12

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d t} [11])$

Étape 13

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0)$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $8$ et $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8$

Étape 14.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Associez $- 8$ et $\frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$