Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = e^{2 t \sin (2 t)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 2 t \sin (2 t)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t \sin (2 t)$ .

$e^{2 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [2 t \sin (2 t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t \sin (2 t)$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{2 t \sin (2 t)} (2 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 t \sin (2 t)}$ .

$2 \cdot e^{2 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \sin (2 t)$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 t$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 t)$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Étape 5.5

Multipliez $\sin (2 t)$ par $1$ .

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{2 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 2 e^{2 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 e^{2 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 2 e^{2 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$