Calcul infinitésimal Exemples

$- \cot (t - e^{- t})$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \cot (t - e^{- t})$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$ .

$- \frac{d}{d t} [\cot (t - e^{- t})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cot (t)$ et $g (t) = t - e^{- t}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t - e^{- t}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t - e^{- t}$ .

$- (- \csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}])$

Étape 3.2

Multipliez $\csc^{2} (t - e^{- t})$ par $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) \frac{d}{d t} [t - e^{- t}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - e^{- t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}])$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- t$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 - e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Multipliez.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + 1 e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.2.2

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$\csc^{2} (t - e^{- t}) (1 + e^{- t})$