Calcul infinitésimal Exemples

$a (1 - e^{- k t}) + b$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a (1 - e^{- k t}) + b$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

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Étape 2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $a (1 - e^{- k t})$ par rapport à $t$ est $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{- k t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- k t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - k t$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.6

Comme $- k$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- k t$ par rapport à $t$ est $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.10

Multipliez $e^{- k t}$ par $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 2.11

Additionnez $0$ et $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

Étape 3

Comme $b$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $b$ par rapport à $t$ est $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $a e^{- k t} k$ et $0$ .

$a e^{- k t} k$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

Étape 4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$