Calcul infinitésimal Exemples

$83 - 16 \ln (t + 1)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $83 - 16 \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [83] + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [83] + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$

Étape 1.2

Comme $83$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $83$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 16 \ln (t + 1)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 16 \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $- 16 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$0 - 16 \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$0 - 16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$0 - 16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 16 (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $1$ .

$0 - 16 \frac{1}{t + 1}$

Étape 2.8

Associez $- 16$ et $\frac{1}{t + 1}$ .

$0 + \frac{- 16}{t + 1}$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{16}{t + 1}$

Étape 3

Soustrayez $\frac{16}{t + 1}$ de $0$ .

$- \frac{16}{t + 1}$