Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{3}}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{18 t^{2} - 9 t + 2}{{(1 - 4 t)}^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 18 t^{2} - 9 t + 2$ et $g (t) = {(1 - 4 t)}^{3}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - 4 t)}^{3})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} \frac{d}{d t} [18 t^{2} - 9 t + 2] - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 t^{2} - 9 t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (\frac{d}{d t} [18 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.3

Comme $18$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $18 t^{2}$ par rapport à $t$ est $18 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (18 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $18$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9 t$ par rapport à $t$ est $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.8

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + \frac{d}{d t} [2]) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9 + 0) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 3.10

Additionnez $36 t - 9$ et $0$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [{(1 - 4 t)}^{3}]}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = 1 - 4 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 4 t$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - (18 t^{2} - 9 t + 2) (3 {(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 5.2

Factorisez ${(1 - 4 t)}^{2}$ à partir de ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez ${(1 - 4 t)}^{2}$ à partir de ${(1 - 4 t)}^{3} (36 t - 9)$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 5.2.2

Factorisez ${(1 - 4 t)}^{2}$ à partir de $- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) ({(1 - 4 t)}^{2} \frac{d}{d t} [1 - 4 t])$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 5.2.3

Factorisez ${(1 - 4 t)}^{2}$ à partir de ${(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + {(1 - 4 t)}^{2} (- 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{6}}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez ${(1 - 4 t)}^{2}$ à partir de ${(1 - 4 t)}^{6}$ .

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(1 - 4 t)}^{2} ((1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t]))}{{(1 - 4 t)}^{2} {(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1 - 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 8

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (0 + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [- 4 t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 t$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) - 3 (18 t^{2} - 9 t + 2) (- 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 11

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2) \cdot 1}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 13

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$2 \frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 13.2

Associez $2$ et $\frac{(1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$ .

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2} - 9 t + 2))}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9) + 12 (18 t^{2}) + 12 (- 9 t) + 12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((1 - 4 t) (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.1

Développez $(1 - 4 t) (36 t - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 (36 t - 9) - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t - 9)) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 (36 t) + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.2.1.1

Multipliez $36 t$ par $1$ .

$\frac{2 (36 t + 1 \cdot - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 t (36 t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t \cdot t - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.2.1.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 (t \cdot t) - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 4 \cdot 36 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} - 4 t \cdot - 9) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 4$ .

$\frac{2 (36 t - 9 - 144 t^{2} + 36 t) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.2.2

Additionnez $36 t$ et $36 t$ .

$\frac{2 (72 t - 9 - 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (72 t) + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.4.1

Multipliez $72$ par $2$ .

$\frac{144 t + 2 \cdot - 9 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{144 t - 18 + 2 (- 144 t^{2}) + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.4.3

Multipliez $- 144$ par $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (12 (18 t^{2})) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.5

Multipliez $18$ par $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 2 (216 t^{2}) + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.6

Multipliez $216$ par $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (12 (- 9 t)) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.7

Multipliez $- 9$ par $12$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} + 2 (- 108 t) + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.8

Multipliez $- 108$ par $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 (12 \cdot 2)}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.9

Multipliez $2 (12 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1.9.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 2 \cdot 24}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.1.9.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$\frac{144 t - 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 216 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.2

Soustrayez $216 t$ de $144 t$ .

$\frac{- 18 - 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 48}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.3

Additionnez $- 18$ et $48$ .

$\frac{- 288 t^{2} + 432 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.3.4

Additionnez $- 288 t^{2}$ et $432 t^{2}$ .

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(1 - 4 t)}^{4}}$

Étape 14.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{144 t^{2} - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Étape 14.5

Factorisez $6$ à partir de $144 t^{2} - 72 t + 30$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Factorisez $6$ à partir de $144 t^{2}$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) - 72 t + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Étape 14.5.2

Factorisez $6$ à partir de $- 72 t$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 30}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Étape 14.5.3

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\frac{6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Étape 14.5.4

Factorisez $6$ à partir de $6 (24 t^{2}) + 6 (- 12 t)$ .

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$

Étape 14.5.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (24 t^{2} - 12 t) + 6 (5)$ .

$\frac{6 (24 t^{2} - 12 t + 5)}{{(- 4 t + 1)}^{4}}$