Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cot^{2} (π t + 2)$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 \cot^{2} (π t + 2)$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (π t + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (π t + 2)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \cot (π t + 2)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (π t + 2)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (π t + 2)$ .

$2 (2 \cot (π t + 2) \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Étape 3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\cot (π t + 2) \frac{d}{d t} [\cot (π t + 2)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cot (t)$ et $g (t) = π t + 2$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π t + 2$ .

$4 \cot (π t + 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$4 \cot (π t + 2) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π t + 2$ .

$4 \cot (π t + 2) (- \csc^{2} (π t + 2) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cot (π t + 2) (\csc^{2} (π t + 2) \frac{d}{d t} [π t + 2])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $π t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [2])$

Étape 5.3

Comme $π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $π t$ par rapport à $t$ est $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])$

Étape 5.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π + \frac{d}{d t} [2])$

Étape 5.6

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) (π + 0)$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) π$

Étape 5.7.2

Réorganisez les facteurs de $- 4 \cot (π t + 2) \csc^{2} (π t + 2) π$ .

$- 4 π \csc^{2} (π t + 2) \cot (π t + 2)$