Calcul infinitésimal Exemples

$10 t^{2} \cdot 2^{- t}$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10 t^{2} \cdot 2^{- t}$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [t^{2} \cdot 2^{- t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} \frac{d}{d t} [2^{- t}] + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = 2^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t$ .

$10 (t^{2} (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$10 (t^{2} (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \frac{d}{d t} [- t]) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- \frac{d}{d t} [t])) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) (- 1 \cdot 1)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 (t^{2} (2^{- t} \ln (2) \cdot - 1) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $2^{- t} \ln (2)$ .

$10 (t^{2} (- 1 \cdot (2^{- t} \ln (2))) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 \cdot 2^{- t}$ comme $- 2^{- t}$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{- t} (2 t))$

Étape 5

Multipliez $2^{- t}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $2$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2 \cdot 2^{- t} t)$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2^{- t}$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1} \cdot 2^{- t} t)$

Étape 5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2)) + 2^{1 - t} t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (t^{2} (- 2^{- t} \ln (2))) + 10 (2^{1 - t} t)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 t^{2} (2^{- t} \ln (2)) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 10 \cdot 2^{- t} t^{2} \ln (2) + 10 \cdot 2^{1 - t} t$ .

$- 10 t^{2} \cdot 2^{- t} \ln (2) + 10 t \cdot 2^{1 - t}$