Calcul infinitésimal Exemples

$5500 {(1 - \frac{t}{50})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(1 - \frac{t}{50})}^{2}$ comme $(1 - \frac{t}{50}) (1 - \frac{t}{50})$ .

$\frac{d}{d t} [5500 ((1 - \frac{t}{50}) (1 - \frac{t}{50}))]$

Étape 2

Développez $(1 - \frac{t}{50}) (1 - \frac{t}{50})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 (1 - \frac{t}{50}) - \frac{t}{50} (1 - \frac{t}{50}))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{50}) - \frac{t}{50} (1 - \frac{t}{50}))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{50}) - \frac{t}{50} \cdot 1 - \frac{t}{50} (- \frac{t}{50}))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 + 1 (- \frac{t}{50}) - \frac{t}{50} \cdot 1 - \frac{t}{50} (- \frac{t}{50}))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- \frac{t}{50}$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} \cdot 1 - \frac{t}{50} (- \frac{t}{50}))]$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} (- \frac{t}{50}))]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{t}{50} (- \frac{t}{50})$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + 1 \frac{t}{50} \frac{t}{50})]$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $\frac{t}{50}$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t}{50} \cdot \frac{t}{50})]$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $\frac{t}{50}$ par $\frac{t}{50}$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t \cdot t}{50 \cdot 50})]$

Étape 3.1.4.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t^{1} t}{50 \cdot 50})]$

Étape 3.1.4.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t^{1} t^{1}}{50 \cdot 50})]$

Étape 3.1.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t^{1 + 1}}{50 \cdot 50})]$

Étape 3.1.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t^{2}}{50 \cdot 50})]$

Étape 3.1.4.8

Multipliez $50$ par $50$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{50} - \frac{t}{50} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{t}{50}$ de $- \frac{t}{50}$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - 2 \frac{t}{50} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 + 2 (- 1) \frac{t}{50} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 25} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 25} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - 1 \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 \frac{t}{25}$ comme $- \frac{t}{25}$ .

$\frac{d}{d t} [5500 (1 - \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500})]$

Étape 5

Comme $5500$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5500 (1 - \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500})$ par rapport à $t$ est $5500 \frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500}]$ .

$5500 \frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500}]$

Étape 6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{t}{25} + \frac{t^{2}}{2500}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{25}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}]$ .

$5500 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{25}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5500 (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{25}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{25}]$ .

$5500 (\frac{d}{d t} [- \frac{t}{25}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 9

Comme $- \frac{1}{25}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{25}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{25} \frac{d}{d t} [t]$ .

$5500 (- \frac{1}{25} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5500 (- \frac{1}{25} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2500}])$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2500}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2}}{2500}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2500} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{1}{2500} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{1}{2500} (2 t))$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2500}$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{2}{2500} t)$

Étape 14.2

Associez $\frac{2}{2500}$ et $t$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{2 t}{2500})$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $2500$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{2 (t)}{2500})$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2500$ .

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{2 t}{2 \cdot 1250})$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{2 t}{2 \cdot 1250})$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5500 (- \frac{1}{25} + \frac{t}{1250})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$5500 (- \frac{1}{25}) + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2

Associez des termes.

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Étape 15.2.1

Multipliez $- 1$ par $5500$ .

$- 5500 (\frac{1}{25}) + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.2

Associez $- 5500$ et $\frac{1}{25}$ .

$\frac{- 5500}{25} + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.3

Annulez le facteur commun à $- 5500$ et $25$ .

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Étape 15.2.3.1

Factorisez $25$ à partir de $- 5500$ .

$\frac{25 \cdot - 220}{25} + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.3.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\frac{25 \cdot - 220}{25 (1)} + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \cdot - 220}{25 \cdot 1} + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 220}{1} + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.3.2.4

Divisez $- 220$ par $1$ .

$- 220 + 5500 \frac{t}{1250}$

Étape 15.2.4

Associez $5500$ et $\frac{t}{1250}$ .

$- 220 + \frac{5500 t}{1250}$

Étape 15.2.5

Annulez le facteur commun à $5500$ et $1250$ .

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Étape 15.2.5.1

Factorisez $250$ à partir de $5500 t$ .

$- 220 + \frac{250 (22 t)}{1250}$

Étape 15.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.5.2.1

Factorisez $250$ à partir de $1250$ .

$- 220 + \frac{250 (22 t)}{250 (5)}$

Étape 15.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 220 + \frac{250 (22 t)}{250 \cdot 5}$

Étape 15.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 220 + \frac{22 t}{5}$

Étape 15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{22 t}{5} - 220$