Calcul infinitésimal Exemples

$- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Étape 1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6 t {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ par rapport à $t$ est $- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{4} - 1)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$- 6 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{4} - 1)}^{4}] + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = 5 t^{4} - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t^{4} - 1$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t^{4} - 1]) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{4} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{4}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (5 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3} + 0)) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $20 t^{3}$ et $0$ .

$- 6 (t (4 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (20 t^{3})) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.6.2

Multipliez $20$ par $4$ .

$- 6 (t (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3} t^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 6 (t^{3} t^{1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 (t^{3 + 1} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 7

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4} \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez ${(5 t^{4} - 1)}^{4}$ par $1$ .

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3}) + {(5 t^{4} - 1)}^{4})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 (t^{4} (80 {(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Étape 10.2

Multipliez $80$ par $- 6$ .

$- 480 (t^{4} ({(5 t^{4} - 1)}^{3})) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Étape 10.3

Factorisez $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ à partir de $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3} - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ à partir de $- 480 t^{4} {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) - 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$

Étape 10.3.2

Factorisez $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ à partir de $- 6 {(5 t^{4} - 1)}^{4}$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$

Étape 10.3.3

Factorisez $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3}$ à partir de $6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4}) + 6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- (5 t^{4} - 1))$ .

$6 {(5 t^{4} - 1)}^{3} (- 80 t^{4} - (5 t^{4} - 1))$