Calcul infinitésimal Exemples

$5 \ln (5 \ln (4 t))$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \ln (5 \ln (4 t))$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\ln (5 \ln (4 t))]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\ln (5 \ln (4 t))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 5 \ln (4 t)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 \ln (4 t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$5 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 \ln (4 t)$ .

$5 (\frac{1}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{5 \ln (4 t)}$ et $5$ .

$\frac{5}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{5 \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (4 t)} \frac{d}{d t} [5 \ln (4 t)]$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \ln (4 t)$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$ .

$\frac{1}{\ln (4 t)} (5 \frac{d}{d t} [\ln (4 t)])$

Étape 3.4

Associez $5$ et $\frac{1}{\ln (4 t)}$ .

$\frac{5}{\ln (4 t)} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 4 t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 t$ .

$\frac{5}{\ln (4 t)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{5}{\ln (4 t)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 t$ .

$\frac{5}{\ln (4 t)} (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{4 t}$ par $\frac{5}{\ln (4 t)}$ .

$\frac{5}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [4 t]$

Étape 5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{5}{4 t \ln (4 t)} (4 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{5}{4 t \ln (4 t)}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{20}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $20$ et $4$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 t \ln (4 t)$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 (t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 5}{4 (t \ln (4 t))} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{t \ln (4 t)} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{t \ln (4 t)} \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{5}{t \ln (4 t)}$ par $1$ .

$\frac{5}{t \ln (4 t)}$