Calcul infinitésimal Exemples

$500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $500 t + \frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

$\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

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Étape 2.1

Comme $500$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $500 t$ par rapport à $t$ est $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Étape 2.3

Multipliez $500$ par $1$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{4200}{π} \cdot \sin (\frac{π t}{12})]$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{4200}{π}$ et $\sin (\frac{π t}{12})$ .

$500 + \frac{d}{d t} [\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{4200}{π}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{4200 \sin (\frac{π t}{12})}{π}$ par rapport à $t$ est $\frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$ .

$500 + \frac{4200}{π} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{12})]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{π t}{12}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π t}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}])$

Étape 3.4

Comme $\frac{π}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $1$ .

$500 + \frac{4200}{π} (\cos (\frac{π t}{12}) \frac{π}{12})$

Étape 3.7

Associez $\cos (\frac{π t}{12})$ et $\frac{π}{12}$ .

$500 + \frac{4200}{π} \cdot \frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{4200}{π}$ par $\frac{\cos (\frac{π t}{12}) π}{12}$ .

$500 + \frac{4200 (\cos (\frac{π t}{12}) π)}{π \cdot 12}$

Étape 3.9

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$500 + \frac{4200 \cos (\frac{π t}{12}) π}{12 \cdot π}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun à $4200$ et $12$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $12$ à partir de $4200 \cos (\frac{π t}{12}) π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Étape 3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 π$ .

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 (π)}$

Étape 3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$500 + \frac{12 (350 \cos (\frac{π t}{12}) π)}{12 π}$

Étape 3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.11.1

Annulez le facteur commun.

$500 + \frac{350 \cos (\frac{π t}{12}) π}{π}$

Étape 3.11.2

Divisez $350 \cos (\frac{π t}{12})$ par $1$ .

$500 + 350 \cos (\frac{π t}{12})$