Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4}}{x - 12}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 12$ .

$\frac{(x - 12) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(x - 12) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x - 12$ .

$\frac{4 \cdot (x - 12) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $4$ par $- 12$ .

$\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4} - 48 x^{3}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $- 48 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)}{{(x - 12)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $3 x^{3}$ à partir de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 16)}{{(x - 12)}^{2}}$