Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{3}{2} x^{2} - x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{2} - \frac{3}{2} x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{3} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 x^{3} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$2 x^{3} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$2 x^{3} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x^{3} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$2 x^{3} - 3 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{3} - 3 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x^{3} - 3 x - 1 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{3} - 3 x - 1$