Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - x - 2$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - 2) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + 1 x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 2 + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 5 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$1$