Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - \ln (\frac{10}{x})}{7 x^{2} + 5 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ et $g (x) = 7 x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - \ln (\frac{10}{x})] - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - \ln (\frac{10}{x})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (\frac{10}{x})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{10}{x})]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{1}{\frac{10}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{10}{x}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (1 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{x}{10}$ par $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - (\frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 6

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - \frac{x}{10} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - 10 \frac{x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.2

Associez $- 10$ et $\frac{x}{10}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- 10 x}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $10$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{10 (- x)}{10 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.3.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 7.4

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x - x (- x^{- 2})) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 9

Multipliez.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + 1 x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x \cdot x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 10

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1} x^{- 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{1 - 2}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 5 x]}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 12

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 14

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + \frac{d}{d x} [5 x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 15

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5 \cdot 1)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 17

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + x^{- 1}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 18

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) - (x^{2} - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Développez $(7 x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{1}{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} (2 x + \frac{1}{x}) + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x + \frac{1}{x}) + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x^{2} (2 x) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 \cdot 2 x^{2} x + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 19.2.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 \cdot 2 x^{1 + 2} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{7 \cdot 2 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x^{2} \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 19.2.1.2.4.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x^{3} + x (7 x) \frac{1}{x} + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 x (2 x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x \cdot x + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 (x \cdot x) + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 5 \cdot 2 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 x \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 19.2.1.2.8.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + x \cdot 5 \frac{1}{x} + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} - - \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- - \ln (\frac{10}{x})$ .

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Étape 19.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + 1 \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.3.2

Multipliez $\ln (\frac{10}{x})$ par $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 + (- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.4

Développez $(- x^{2} + \ln (\frac{10}{x})) (14 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x + 5) + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x + 5)}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - x^{2} (14 x) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 19.2.1.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 1 \cdot 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.3

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10}{x}) (14 x) + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + 14 \ln (\frac{10}{x}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.6

Simplifiez $14 \ln (\frac{10}{x})$ en déplaçant $14$ dans le logarithme.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln ({(\frac{10}{x})}^{14}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{x}$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{10^{14}}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.8

Élevez $10$ à la puissance $14$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10}{x}) \cdot 5}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.9

Multipliez $\ln (\frac{10}{x}) \cdot 5$ .

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Étape 19.2.1.5.9.1

Remettez dans l’ordre $\ln (\frac{10}{x})$ et $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + 5 \cdot \ln (\frac{10}{x})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.9.2

Simplifiez $5 \cdot \ln (\frac{10}{x})$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln ({(\frac{10}{x})}^{5})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{10}{x}$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{10^{5}}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.1.5.11

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.2

Associez les termes opposés dans $14 x^{3} + 7 x + 10 x^{2} + 5 - 14 x^{3} - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ .

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $14 x^{3}$ de $14 x^{3}$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 + 0 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $7 x + 10 x^{2} + 5$ et $0$ .

$\frac{7 x + 10 x^{2} + 5 - 5 x^{2} + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.3

Soustrayez $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 x + 5 x^{2} + 5 + \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) x + \ln (\frac{100000}{x^{5}})$ .

$\frac{7 x + 5 x^{2} + 5 + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$

Étape 19.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x^{2} + x \ln (\frac{100000000000000}{x^{14}}) + 7 x + 5 + \ln (\frac{100000}{x^{5}})}{{(7 x^{2} + 5 x)}^{2}}$