Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{3 - x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $3$ à gauche de $3 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $- 3 x^{4}$ et $2 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{4} + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{4} + 9 x^{2}$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3^{2} - x^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 5.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{x^{2} (3 + x) (3 - x)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$