Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $3$ et $\frac{x^{3}}{9}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{3 x^{3}}{9}$ et $\ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} \ln (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

Étape 1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x - 1}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{x^{3}}{x - 1}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

Étape 5

Pour écrire $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.2

Simplifiez $3 \ln (x - 1)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.1.6

Réécrivez $- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ comme $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ .

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

Étape 8.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$