Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - e^{x}$ et $g (x) = 1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}] - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{x}) (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - (1 - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) + (- 1 \cdot 1 - - e^{x}) e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (- e^{x}) + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $- e^{x}$ par $1$ .

$\frac{- e^{x} + e^{x} (- e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- e^{x} - e^{x + x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.3.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 \cdot 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - 1 e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.5

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x} e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.6.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - (e^{x} e^{x})}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{x + x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.6.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} - - e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.7

Multipliez $- - e^{2 x}$ .

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Étape 6.4.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + 1 e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.1.7.2

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$\frac{- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.2

Associez les termes opposés dans $- e^{x} - e^{2 x} - e^{x} + e^{2 x}$ .

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Étape 6.4.2.1

Additionnez $- e^{2 x}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{- e^{x} + 0 - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $- e^{x}$ et $0$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.4.3

Soustrayez $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$