Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $6$ à gauche de $1 + \ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez $6 \ln (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $x^{5}$ de $6 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.4

Factorisez $x^{5}$ à partir de $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $x^{5}$ à partir de $5 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.4.2

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{5} \ln (x^{6})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

Étape 5.4.3

Factorisez $x^{5}$ à partir de $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ .

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$