Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{4 x^{3}} - \frac{6}{5 x^{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4 x^{3}} - \frac{6}{5 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{3}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{4} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{4} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{1}{4} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{- 3}{4}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.10

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{5 x^{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{6}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{5 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - \frac{6}{5} (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 4 (\frac{6}{5}) x^{- 5}$

Étape 3.9

Associez $4$ et $\frac{6}{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{4 \cdot 6}{5} x^{- 5}$

Étape 3.10

Multipliez $4$ par $6$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{24}{5} x^{- 5}$

Étape 3.11

Associez $\frac{24}{5}$ et $x^{- 5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{24 x^{- 5}}{5}$

Étape 3.12

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{24}{5 x^{5}}$