Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ comme ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + e^{- x}$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2

Multipliez.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.2.2

Multipliez ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez ${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de ${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Étape 6.3

Associez $e^{- x}$ et $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$