Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 - \cos (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ comme ${(1 - \cos (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- {(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.5.2

Multipliez ${(1 - \cos (x))}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

${(1 - \cos (x))}^{- 2} (- \sin (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}} (- \sin (x))$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{{(1 - \cos (x))}^{2}}$