Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ comme ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5 x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5 x + 6$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ .

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 4.6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de produit à $(x + 2) (x + 3)$ .

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 2 x - 5$ par $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- (2 x + 5)$ comme $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$