Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{7} - x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $3 x^{7}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

Étape 1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

Étape 1.2.2.5

Divisez $x^{2} (3 x^{4} - 1)$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x^{4} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Déplacez $12$ à gauche de $x^{5}$ .

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $3 x^{4} - 1$ .

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 8.3

Associez des termes.

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Étape 8.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

Étape 8.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

Étape 8.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 8.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

Étape 8.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

Étape 8.3.6

Additionnez $12 x^{5}$ et $6 x^{5}$ .

$18 x^{5} - 2 x$